德国数学家和天文学家莫比乌斯和约翰李斯丁于1858年独立发现了莫比乌斯指环，这个指环只有一个面和一个边界。制作莫比乌斯指环相对来说非常简单，只需要将一条纸带旋转半圈后粘合两端即可。
莫比乌斯指环本身具有很多奇妙的性质。如果从中间剪开一个莫比乌斯指环，不会得到两个窄带子，而是会形成一个将纸带的端头扭转了两次再结合的环。再将刚刚做出的环从中间剪开，将会变成两个环。如果将带子的宽度分成三部分，并沿着分割线剪开，会得到两个环，一个是窄一些的莫比乌斯指环，另一个则是一个旋转了两次再结合的环。
另一个有趣的特性是将纸带旋转多次再粘合末端所产生的结果。例如，旋转三个半圈的带子再剪开后会形成一个三叶结。剪开带子后再进行旋转，然后重新粘合，将会得到数个Paradromic。
莫比乌斯指环的奇妙之处有三个。首先，它只存在一个面。其次，如果沿着莫比乌斯指环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯指环空间大一倍的环，具有正反两个面（标记为环0），而不是形成两个莫比乌斯指环或其他形式的环。再次，如果沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环（标记为环1和环2），且这两个环是相互套在一起的。继续沿着环1和环2以及由它们中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，这个过程永无止境。所生成的所有环都将套在一起，永远无法分开，也永远不可能与其他环独立存在。
