闭区间和开区间的连续性证明存在一点不同，即闭区间需要证明两端点的连续性。
在已经证明了闭区间内函数的连续性后，只需要再证明函数在两个端点处的左极限等于左端点的函数值，右极限等于右端点的函数值，即可说明函数在该闭区间上连续。
直线上介于固定的两点间的所有点的集合，可以用开区间 (a, b) 表示，其中不包含给定的两点a和b。开区间实质上仍然是一个数集，表示在实数a和实数b之间的所有实数，但不包括a和b。可以表示为{x | a < x < b}。 因此，在证明闭区间和开区间的连续性时，需要留意闭区间多了一步连续性的证明，即两端点的连续性证明。而开区间仍然是一个数集，表示在给定的两点之间的所有实数，但不包含这两个端点。
