计算矩阵A的2次方和3次方时，可以找到规律，并用归纳法证明。假设矩阵A的秩为1，则A可以表示为A=αβ^T，其中α为列向量，β为行向量。根据规律，A的n次方可以表示为A^n=(β^Tα)^(n-1)A。这个规律可以通过计算A^2和A^3来进行验证。
另一种方法是分拆法，即将矩阵A分解为两个矩阵B和C，使得BC=CB。通过二项式公式展开可以得到A^n的表达式，此时计算B的n次方比较容易，并且C的低次幂为零，即C^2或C^3等于零。
矩阵在物理学中有广泛的应用，特别是在描述线性耦合调和系统方面。这类系统的运动方程可以用矩阵表示，其中质量矩阵乘以广义速度给出运动项，力矩阵乘以位移向量描述相互作用。寻找系统解的最优方法是计算矩阵的特征向量，通过对角化等手段得到简正模式。在研究分子内部动力学模式时，这种求解方法非常重要，因为化学键结合的原子振动可以表示为简正振动模式的叠加。
